Реферат по Математике на Тему Интегралы

Реферат по Математике на Тему Интегралы.rar
Закачек 3924
Средняя скорость 1356 Kb/s

Интегралы

История возникновения интеграла гласит о двух причинах его появления: необходимость находить первоначальную функцию по ее производной и необходимость вычислять объемы и площади сложных фигур.

Всем известный символ интеграла введем известным математиком Лейбницем, и представляет собой деформированную латинскую букву S. S – первая буква слова сумма. А термин «интеграл» принадлежит Бернулли.

Неопределенный интеграл и первообразная функции

Что такое первообразная функция? Предположим, что у нас есть произвольная функция f(x). Тогда ее первообразной будет считаться такая функция F(x), производная которой будет равнять данной первоначальной функции.

Или же это можно обозначить таким образом

В данной формуле F'(x) = f(x). Функция f(x) именуется подынтегральной, а f(x)dx – является подынтегральным выражением.

У неопределенного интеграла имеется четыре основных свойства, которые необходимо усвоить для удобной работы с ними.

Свойства неопределенного интеграла

1) Если от неопределенного интеграла взять производную, ответ будет равен первоначальной подынтегральной функции; дифференциал же его будет равняться подынтегральному выражению.

2)­ Интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

3) При решении интеграла модно выносить постоянный множитель из под его знака, если только соблюдается условие k = const не равно 0

4) . Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.

Для­ решения интегралов используется специальная таблица основных интегралов:

­Непосредственное интегрирование – это вычисление интегралов, при котором используются лишь таблица основных интегралов и свойства интегралов.

Однако, когда требуется взять интеграл от более сложной функции, становится необходимым использование дополнительных методов решения. К таким методам относятся:

1.­­ ­Интегрирование подведением под знак дифференциала.
2.­­ ­Интегрирование по частям
3.­­ ­Метод подстановки

Средняя школа №43

на тему: «Понятие интегрирования и его применение»

подготовила: учитель математики

Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, к ней обратной. Так, наряду с операцией сложения рассматривается обратная к ней операция вычитания. Наряду с операцией умножения рассматривае5тся обратная к ней операция деления, наряду с операцией возведения в степень рассматривается обратная к ней операция извлечения корня. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и ее единственность. Так, если рассматривать только действительные числа, то извлечение квадратного корня не всегда возможно. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Точно также извлечение квадратного корня не является операцией однозначной, так как при извлечении квадратного корня из положительного числа мы получаем два его значения: положительное и отрицательное. И когда мы познакомились с операцией дифференцирования, возникает вопрос об операции, обратной к ней, которая называется операцией интегрирования. Для операции интегрирования необходимо решить два вопроса: вопрос об осуществимости операции интегрирования и вопрос об единственности операции интегрирования. Перейдем к точным математическим формулировкам. Если задана функция f ( x ) то функция h ( x ) , заданная для тех же значений аргумента, что и f ( x ) , и удовлетворяющая условию h / ( x )= f ( x ), называется интегралом функции f ( x ) или первообразной для функции f ( x ). Переход от заданной функции f ( x ) к функции h ( x ) , удовлетворяющей уравнению h / ( x )= f ( x ), является операцией интегрирования.

О происхождении терминов и обозначений. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу».

Символ интеграла ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского ihtegro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать . Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление , которое ввел И. Бернулли.

Другие известные нам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».

В современной литературе множество всех первообразных для функции f ( x ) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А современную запись интеграла с указанием границ интегрирования называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Из истории интегрального исчисления. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (т.е. вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания , предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н.э.). С поvмощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией мы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенная в геометрии, основан на идеях Архимеда. Вспомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа π , нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал что объем этого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления.( Добавим, что практически и первые теоремы были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математически XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод –метод неделимых, который также родился в Древней Греции ( он связан в первую очередь с атомистическим воззрениями Д е м о к р и т а). Например, криволинейную трапецию, на рисунке они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f ( x ) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечной малой величине f ( x ) dx .В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

a n где n целое (т.е. по существу вывел формулу ∫ x n dx=(1/(n+1))*x n +1 ) и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т.п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались следующем столетии(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематические исследования интегрирования элементарных функций, и И.Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев(*1821-1894). Принципиальное значение имели, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б.Римана(1826-1866), французского математика Г. Дарбу(1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А.Лебегом (1875-1941) и А.Данжуа(1884-2974), советским математиком А.Я. Хинчиным(1894-1959).

О применении понятия интеграла. Интегрирование возникает в математике не только как операция, обратная к дифференцированию, но также и при решении многих других задач, о которых было уже сказано. Хочется привести одну необычную задачу, решение которой тоже основано на применении понятия интеграла. « Лев и человек, находящиеся на огороженной круговой арене, имеют одинаковую максимальную скорость. Какой стратегии должен придерживаться лев, чтобы быть уверенным в своей трапезе?»

Говорят, что задача о «взвешивании монет» стоила 10 000 человеко-часов непродуктивно потраченного времени математиков, занятых оборонной работой во время войны. Было даже сделано предложение сбросить эту задачу над Германией. Задача о льве, хотя и имеет уже 25-летнюю давность, недавно вновь пронеслась по странам; но большинство математиков удовлетворились ответом «лев должен находиться на радиусе ОМ (М — человек)». Применяя понятие интеграла для исследования поставленной задачи, можно прийти к выводу: L не может поймать М, пока М находится на М0 М1. Так как, далее, L 1 находится на ОМ, а М1 М2 перпендикулярно к L 1 М1 , то L не может поймать М, пока М находится на М1 М2. Это продолжается на каждом последующем звене Мп Мп+1 и, следовательно, в течение бесконечного времени, так как общая длина ломанной бесконечна.

Другим ярким и интересным примером применения интеграла является задача Ньютона о притяжении шара.

Интеграл и его применение

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античн oe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa ). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление ( calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F ( x ) = ò f ( x ) dx — начальная (или первоначальная, или первообразная) для f ( x ), которая получается из F ( x ) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f (х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. b

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S ( x ). Каждому xÎ [ a ; b ] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно S ( a )=0 и S ( b )= S тр

Докажем, что S ( a ) – первообразная f ( x ).

S’(x0)= lim( S(x0+Dx) – S(x0) / Dx ), при Dx®0 DS – прямоугольник

Dx® 0 со сторонами Dx и f ( x 0)

S ’( x 0) = lim ( Dx f ( x 0) / Dx ) = lim f ( x 0)= f ( x 0): т.к. x 0 точка, то S ( x ) –

Dx® 0 Dx® 0 первообразная f ( x ).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S ( x )= F ( x )+ C .

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

1). Разобьем отрезок [ a ; b ] на n равных частей. Шаг разбиения

Dx =( b – a )/ n . При этом S тр= lim ( f ( x 0) Dx + f ( x 1) Dx +. + f ( xn )) Dx =

При n®¥ получим, что S тр= Dx ( f ( x 0)+ f ( x 1)+. + f ( xn ))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

S тр= ò f ( x ) dx

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [ a ; b ] при n®¥ . Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a — нижний предел интегрирования;

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F – первообразная для b на [ a ; b ], то


Статьи по теме